O método de Lagrange em Economia

Um problema clássico na economia é como maximizar a utilidade apesar dos recursos limitados, tais como tempo e dinheiro. O método de Lagrange usa uma técnica de cálculo para medir matematicamente como os consumidores podem alcançar a máxima satisfação e as empresas podem maximizar o lucro (ou minimizar os custos) dentro de determinados limites.

O método de Lagrange (também conhecido como multiplicadores de Lagrange) é nomeado para Joseph Louis Lagrange (1736-1813), um matemático de origem italiana. Seus multiplicadores de Lagrange têm aplicações em uma variedade de campos, incluindo a física, astronomia e economia.

A teoria fundamental na economia neoclássica, a base da maioria pensamento econômico mainstream, é que os consumidores e as empresas são atores racionais que se esforçam para maximizar a sua utilidade. Do lado do consumidor, isso significa a obtenção do mais alto nível de satisfação de produtos e serviços que um determinado valores de consumo altamente. Para as empresas, a máxima utilidade significa maximizar o lucro.

Os economistas reconhecem que os indivíduos e as empresas têm desejos ilimitados, mas apenas recursos finitos para satisfazer essas necessidades. Os consumidores têm renda limitada para comprar os produtos e serviços que desejam, e as empresas têm apenas limitado terra, trabalho e capital para a produção de seus produtos. Estes recursos limitados, então, as restrições atuais.

O desafio, então, é a forma de alcançar a máxima satisfação ou lucro dentro das restrições dadas. Outro desafio para as empresas é o de minimizar os custos de produção e ainda atender os níveis esperados de saída. O método de Lagrange fornece uma maneira de resolver quantitativamente estas questões, que alguns economistas se referem como questões de otimização restrita.

O método aplica-se de Lagrange cálculo diferencial, que envolve o cálculo das derivadas parciais, a problemas de optimização constrangido. O proprietário de um negócio, por exemplo, pode usar esta técnica para maximizar o lucro ou minimizar os custos, dado que a empresa tem apenas uma certa quantidade de dinheiro para investir.

Um consumidor hipotético, que, por exemplo, deriva utilidade da coleta de livros e CDs, poderia usar esse método para determinar como obter o número ideal de livros e CDs, uma vez que ele ou ela tem apenas US $ 100 da renda disponível para gastar.

O multiplicador de Lagrange, representado na equação pela letra grega lambda minúsculas (?), Representa a taxa de mudança de utilidade relativa à mudança na restrição orçamentária. Na economia, isto é conhecido como o valor marginal ou utilidade marginal, o aumento da utilidade obtida com um aumento na restrição orçamentária.

Com base nos resultados de uma análise de Lagrange, um indivíduo ou de uma empresa tem uma base empírica para a tomada de decisões sobre a maximização da utilidade continuou dentro de alterações aos constrangimentos externos. Um aumento de preços para um bom favorito, por exemplo, pode levar o consumidor a comprar uma quantidade menor desse item ou para trabalhar mais horas para ganhar mais renda para pagar o preço mais elevado.