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Como resolver equações simultâneas

Sistemas de equações lineares simultâneas são resolvidos mecanicamente através do uso de um método chamado de eliminação de Gauss. Este método utiliza uma matriz formada pelos coeficientes constantes nas equações aumentada pelo vector formado pelas soluções da equação. Uma série de operações de multiplicação, subtracção são realizados para criar uma matriz triangular, e, em seguida, os novos valores a partir da matriz são substituídos de volta para as equações para determinar os valores para as variáveis. A matriz deve ter o mesmo número de linhas como existem variáveis ​​no problema. Caso contrário, não haverá solução única.

Equações lineares

  • Escreva suas equações na forma padrão. Criar a matriz aumentada a partir dos coeficientes e soluções da equação:

    x + y + z = 6
    x + 2y + 2z = 11
    2x + 3y - 4z = 3

    matriz dos coeficientes aumentada

  • Multiplicar a primeira linha por um factor constante e subtrair esses valores da segunda linha. Escolha um fator que vai deixar um zero na primeira posição da segunda linha após a subtração. Repita o procedimento para a terceira fila. Neste caso, o factor para o funcionamento na segunda linha é 1, e o factor para o funcionamento na terceira operação de linha é 2.

    matriz aumentada após operações primeira fileira


  • Multiplicar a segunda fila por um factor que vai definir o segundo termo igual a 1. Neste caso, o factor é -1.

    Modificada segunda fila

  • Multiplicar a segunda fila por um factor e subtrair esses valores da terceira fila, como antes. Para este exemplo, o factor é -1.

    matriz aumentada após operações segunda fileira


  • Multiplicar a terceira fila por um factor que vai definir o terceiro termo igual a 1. Neste exemplo, a terceira linha é (0, 0, -7, -14), após as operações de linha, de modo que um factor de -1/7 deve ser usado. Isso completa a "eliminação progressiva" parte do problema.

    matriz aumentada após eliminação para a frente


  • Reescrever as equações usando os novos coeficientes e soluções:

    x + y + z = 6
    0 x + y + z = 5
    0x + 0Y + z = 2

  • Substituir os valores conhecidos de volta para as equações para determinar os valores de x, y e z. Isso é chamado "substituição de volta":

    0x + 0Y + z = 2- z = 2
    0 x + y + 2 = 5- y = 3
    x + 3 + 2 = 6- x = 1

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